calcolo
delle probabilità

-Definizione di probabilità.

-Legge additiva (eventi disgiunti)

-Probabilità totale

-Eventi composti

-Eventi indipendenti

-Legge moltiplicativa

-Probabilità composte

-Probabilità condizionata

-Definizione di variabile aleatoria

Definizione di probabilità: esempi

1. La probabilità che una candela accesa si spenga è  p = 1, perché è assolutamente certo che si esaurirà.

2. La probabilità che si spenga nella prossima mezzora è un numero p compreso nell'intervallo  0-1.

3. La probabilità che una candela accesa rimanga accesa per sempre è  p=0.

4. La probabilità che lanciando un dado non truccato si ottenga uno qualunque dei numeri tra  1  e  6  è  p=1, perché un dado ha solo sei faccie ciascuna delle quali mostra un numero compreso tra  1  e  6  e certamente il risultato dovrà essere uno di questi numeri.

Definizione di probabilità: esempi

5. La probabilità di ottenere un numero maggiore di  2  lanciando un dado non truccato è  p = 4/6 = 2/3, perché vi sono sei possibili modi in cui il dado può cadere e di questi, quattro sono favorevoli all'evento indicato.

1		2		3	 4		5		6

6. In una lotteria che abbia distribuito 90 biglietti e che preveda di premiare  10  numeri e di non premiare gli altri  80  numeri, la probabilità che un individuo possessore di un biglietto ha di vincere un premio è  p=10/90, perché  90  sono tutti i numeri possibili e solo  10  di questi sono associati ad un premio.

Definizione di probabilità: esempi

7. Da un'urna contenente  6  biglie bianche e  4  biglie nere, la probabilità di estrarre una biglia nera è  p = 4/10

        

Legge additiva e probabilità totale

 la probabilità che si presenti uno qualsiasi di  n  eventi che si escludono vicendevolmente è uguale alla somma delle probabilità che si verifichino  n  eventi separati e cioè:

.

ESEMPIO

La probabilità che un dado mostri 1  oppure  6  é data dalla uguaglianza 

 p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 .

Legge additiva e probabilità totale: esempi

Supponiamo di avere 15  carte segnate con i primi  15 numeri. Quando una di queste carte viene estratta a caso, qual'è la probabilità di avere un numero multiplo di  2  o di  9? 

Tra i primi quindici numeri non ve ne è nessuno che sia allo stesso tempo multiplo di  2  e di  9, per cui i due eventi si escludono a vicenda e la risposta è:

.

Legge additiva e probabilità totale: esempi

Supponiamo di avere 15  carte segnate con i primi  15 numeri. Quando una di queste carte viene estratta a caso quale è la probabilità di ottenere un numero che sia multiplo di  2  o di  3,  6  e  12  sono multipli sia di  2  che di  3. Quindi i due eventi non si escludono a vicenda.

Per trovare la risposta giusta dobbiamo includere  6  e  12  in una sola delle due frequenze favorevoli e non in entrambe.  
La probabilità di avere un multiplo di  2  è  7/15  e quella di avere un multiplo di  3  è  5/15.

La risposta non è:

7/15 + 5/15 = 12/15 = 4/5, 

bensì:

7/15 + 5/15 - 2/15 = 10/15 = 2/3.
Eventi composti e indipendenti

Quando due o più eventi si verificano in connessione l'uno con gli altri, il verificarsi congiunto è chiamato evento composto. 

Parecchi eventi possono verificarsi simultaneamente o in successione. Ma essi possono essere sia indipendenti l'uno dall'altro, sia dipendenti tra loro. 

Gli eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influisce sul verificarsi degli altri. 
In altre parole, due eventi si dicono mutualmente indipendenti quando la probabilità che si verifichi uno di essi è la stessa sia che l'altro si presenti sia che non si presenti.

Eventi composti e indipendenti: esempi

La probabilità d'ottenere due 1 nel lancio di una coppia di dadi non truccati è:

p=1/6  * 1/6 = 1/36

I due eventi sono indipendenti. 
Infatti, il punteggio che mostra il primo dado non influisce sul risultato ottenuto dal secondo dado. 

Il numero totale delle associazioni possibili è pari a 6*6=36.
Poiché vogliamo avere come risultato due 1, questo può verificarsi solo in un modo e quindi il numero dei modi favorevoli all'evento "uscita di due  1  con il lancio di due dadi non truccati" è pari ad 1. Quindi la probabilità ricercata è uguale a  1/36, che è uguale al prodotto delle probabilità di ottenere  1  separatamente da ogni dado, cioè:
		p=1/6  * 1/6 = 1/36
Eventi composti e indipendenti: esempi

Se si estrae una biglia da un'urna che ne contiene  6  bianche e  8  rosse e si esegue poi una seconda estrazione, dopo aver rimesso nell'urna la biglia estratta la prima volta, qual'è la probabilità che la prima estrazione dia come risultato  una biglie bianche e la seconda  una biglia rossa?

Poiché la  biglia estratta la prima volta è rimessa nell'urna prima di effettuare la seconda estrazione, il risultato della prima estrazione non avrà alcuna influenza su quello della seconda. Quindi i due eventi sono indipendenti.

Si ha :

	 	p=3/7  * 4/7 = 12/7

Legge moltiplicativa 

Si abbiano due eventi indipendenti. 
Con le caratteristiche seguenti:

	I EVENTO	II EVENTO	
modi favorevoli al verificarsi dell' evento	
f1	
f2	
Modi possibili di verificarsi (S)	
N1	
N2	
Probabilità che si verifichi l'evento	
P1	
P2	

Sappiamo che:
;
.

Qual'è la probabilità dell'evento composto (E1E2) ?

Modi favorevoli al verificarsi di ambedue gli eventi E1 ed E2:

f1*f2

Modi possibili di presentarsi dell'evento composto (S):
N1*N2
Si ha:

;
Per il teorema concernente il limite di un prodotto si può  scrivere:

teorema della probabilità composta

"La probabilità del verificarsi di un evento composto che consiste di due eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità di verificarsi relative a ciascuno degli eventi singoli".

Questo teorema può essere generalizzato al caso in cui gli eventi indipendenti siano più di due, per il quale potremo scrivere:

.

Probabilità condizionata
Consideriamo due eventi x ed y  dipendenti l'uno dall'altro, cioè la probabilità del verificarsi dell'evento  y  dipende dal verificarsi o meno dell'evento x. La probabilità che l'evento y si verifichi è detta probabilità condizionata ed è di solito indicata con la notazione:
p(y/x)
In questo caso la legge moltiplicativa della probabilità si scriverà come segue:

,

L'espressione che fornisce la probabilità condizionata è:
.

Probabilità condizionata

Esempio

Supponiamo di estrarre una carta da un mazzo di  52  carte. Senza rimettere la carta estratta nel mazzo, ripetiamo l'operazione con una seconda carta. Qal'è la probabilità che tutte e due le carte siano dello stesso colore?

Prima della prima estrazione, il mazzo contiene carte di due colori nello stesso numero, ma poiché la carta estratta per prima non viene riposta nel mazzo, la seconda estrazione dipenderà dal risultato della prima. Quindi i due eventi sono tra loro dipendenti. In questo caso possiamo usare la formula della probabilità condizionata.

Probabilità condizionata

Esempio

Indichiamo con p(x) la probabilità di estrarre una carta del colore desiderato nella prima estrazione. Allora p(y/x)  rappresenterà la probabilità condizionata, cioè la probabilità di estrarre una carta dello stesso colore nella seconda estrazione:
;	

e quindi la probabilità cercata è pari a:

.

Speranza matematica

Se una persona ha la probabilità  p1  di ottenere una somma  x1  e  p2  di ottenere la somma  x2  e così via, la sua speranza matematica è data dalla formula: