Variabilideflusso

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LE VARIABILI DEL DEFLUSSO VEICOLARE E LE RELAZIONI CHE LE LEGANO

L' articolo di Wardrop(1952): 'Some theoretical apects of road traffic reasearch' , fondamentale per molti aspetti, ha chiarito molti dei concetti base fondamentali per lo studio del deflusso veicolare, qui sotto esposti, e ha permesso all' ingeneria del traffico di svilupparsi su delle basi teoriche più rigorose. In seguito Edie(1963) ha fornito ulteriori approfondimenti in materia di definizione delle variabili per un plotone di veicoli nel suo articolo: 'Discussion of traffic stream measurements and definitions' . Si rimanda inoltre al volume 'Traffic Flow Theory and Control' di Drew(1968) e al completo 'Traffic Flow Theory' (Gerlough e Huber 1975) per ulteriori approfondimenti.


VARIABILI MICROSCOPICHE E MACROSCOPICHE

Possiamo distinguere le variabili del deflusso in microscopiche e macroscopiche. Le variabili microscopiche del deflusso veicolare sono quelle che caratterizzano il deflusso del singolo veicolo. Alcune di esse sono dipendenti dal tempo : la posizione, la velocità e l'accelerazione ed inoltre i distanziamenti spaziali e temporali fra i veicoli. Altre sono costanti nel tempo : la categoria del veicolo, le caratteristiche del veicolo quali la velocità e l'accelerazione massima ecc. Tutte queste variabili microscopiche del deflusso veicolare contribuiscono nel loro insieme a formare una portata veicolare. La difficoltà di conoscere e di operare su un così elevato numero di dati ha portato ad approcci al problema di tipo macroscopico, basati su variabili mediate.

LE VARIABILI MACROSCOPICHE

Tre sono le principali variabili macroscopiche rappresentative del deflusso veicolare : Q, ρ e V, rispettivamente portata,densità e velocità. La definizione di queste variabili macroscopiche non è univoca ed immediata come nel caso delle variabili microscopiche, ma è possibile avere diverse definizioni, conseguenza di diversi modi di aggregare e mediare le variabili microscopiche. In un dominio spazio-tempo X- T si definiscono :

V=Vmedia =  {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dxi}} } \over {\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dti}} }}; ρ = ρmedio =  {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dti}} } \over {{\rm X} \cdot {\rm T}}} ; Q = Q = {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dxi}} } \over {{\rm X} \cdot {\rm T}}};

dove :

dxi=distanza percorsa dal veicolo i nel dominio X-T
dti =tempo di presenza del veicolo i nel dominio X-T
N = numero di veicoli che attraversano il dominio X-T


Il dominio X-T è generalmente un dominio rettangolare che può degenerare in un rettangolo allungato:
1) secondo l'asse t nel caso di misurazione in una sezione x,x+dx in un tempo comunque lungo T . E' questo il caso pratico di misura effettuata puntualmente, per cui di ogni veicolo si registra il passaggio ed il tempo necessario a percorrere la distanza piccola dx. Si ha, a causa del piccolo valore di X=dx, che tutti i veicoli percorrono la stessa distanza dx, (vero solo se all'istante iniziale t1 ed all'istante finale t2 tali che t2-t1=T non è presente nessun veicolo sul tratto). Lightill e Whitham (1955 ) hanno fornito una definizione precisa di portata e concentrazione ad un punto x e ad un tempo t dando istruzioni su come misurarle si ha:


V=Vmedia = {{{\rm N} \cdot {\rm dx}} \over {\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dti}} }}; ρ = ρmedio =  {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dti}} } \over {{\rm dx} \cdot {\rm T}}}; Q = Q = {{\rm N} \over {\rm T}}


Fig.1.2 DOMINI RETTANGOLARI PER IL CALCOLO DI DENSITÀ, PORTATA E VELOCITÀ



La velocità media così ottenuta è la media armonica delle velocità istantanee puntuali dei veicoli.

2) Secondo l'asse x nel caso di misurazione su un tratto x,x+X in un tempo piccolo dt. Dal punto di vista pratico tale misura si può avere con due fotografie del tratto X prese agli istanti t e t+dt, dalle quali è possibile stabilire la distanza percorsa da ogni veicolo . Si ha in questo caso a causa del piccolo valore di T=dt, che tutti i veicoli spendono lo stesso tempo dt nel dominio X-T, (vero solo se nessun veicolo attraversa le sezioni x e x+X durante il tempo dt), quindi :

V=Vmedia = {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dxi}} } \over {{\rm N} \cdot {\rm dt}}}
; ρ = ρmedio = {{\rm N} \over {\rm X}}; Q = Q = {{\sum\limits_{{\rm i} = {\rm 1}}^{\rm N} {{\rm dxi}} } \over {{\rm X} \cdot {\rm dt}}}

La velocità media così ottenuta è la media aritmetica delle velocità istantanee puntuali dei veicoli.

RELAZIONI FRA LE VARIABILI MACROSCOPICHE

Wardrop (Wardrop 1952) è stato il primo ad ottenere la relazione che lega la media armonica delle velocità (Space mean speed = n/(Σ1/vi) ) con la media aritmetica (Time mean speed = Σvi/n ). La media aritmetica è una media delle velocità puntuali pesata con un peso per ogni valore vi . La media armonica è invece la media delle velocità puntuali pesata con un peso :f'_i  = {{1/v_i } \over {\sum {1/v_i } }}.

Si ha:

Space mean speed  
 = \bar v_s  = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i } 'v_i {\rm   ;}
Time mean speed  
= \bar v_t  = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i } {\rm  }v_i {\rm   }{\rm .  }

Si può scrivere quindi :

 
\bar v_t  = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i } v_i  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {v_i } }}
{n}=
\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{v_i }}
{n}} =
\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{v_i ^2 }}
{{v_i  \cdot n}}} =
\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\frac{{v_i ^2 }}
{{v_i }}}}
{{\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}
{{v_i }} \cdot \frac{n}
{{\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}
{{v_i }}} }}} }}} 
= \sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot \frac{{v_i ^2 }}
{{\bar v_s }}}  = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot \frac{{\left[ {\bar v_s  + \left( {v_i  - \bar v_s } \right)} \right]^2 }}
{{\bar v_s }}}  =

 
 = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot \frac{{\bar v_s ^2 }}
{{\bar v_s }} + } \sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot \frac{{\left( {v_i  - \bar v_s } \right)^2 }}
{{\bar v_s }}}  = \bar v_s  + \frac{{\sigma _s^2 }}
{{\bar v_s }}

\left[ {} \right. dal momento che:{\sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot \left( {v_i  - \bar v_s } \right) = 0} }  \left. {} \right]

dove: 
{\sigma} _s^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {f_i ' \cdot {\rm  }\left( {v_i  - \bar v_s } \right)^2 } è la deviazione standard della distribuzione spaziale delle velocità.

Si ha inoltre, che se le variabili Q, ρ e V sono mediate su uno stesso dominio X-T, è sempre valida la seguente relazione :

Q=ρ * V

MODELLI MICROSCOPICI E MACROSCOPICI

La differenziazione fatta sopra fra variabili microscopiche e macroscopiche prevede analogamente una differenziazione fra modelli macroscopici e microscopici di simulazione in dipendenza del tipo di variabili rappresentative del flusso veicolare. I modelli microscopici affrontano il problema macroscopico dello scorrere di una corrente di traffico basandosi sul comportamento microscopico dei singoli autoveicoli. Mentre i modelli macroscopici studiano il deflusso veicolare come quello di un fluido del quale una volta note le caratteristiche generali e le condizioni al contorno è possibile prevederne il moto con un procedimento simile a quello che si utilizza nella fluidodinamica.

L'ANALOGIA FLUIDODINAMICA ED I MODELLI CONTINUI

Una rappresentazione macroscopica del deflusso importante è proprio quella dell'analogia fluidodinamica dove si ipotizza il moto dei veicoli analogo a quello di un fluido continuo definendo dei valori puntuali di Q, ρ e V :



Q(x,t) = lim_{\Delta x \to 0,\Delta t \to 0}\left[ {Q(x + \Delta x,t + \Delta t)} \right]


\rho(x,t) = lim_{\Delta x \to 0,\Delta t \to 0}\left[ {\rho(x + \Delta x,t + \Delta t)} \right]


V(x,t) = lim_{\Delta x \to 0,\Delta t \to 0}\left[ {V(x + \Delta x,t + \Delta t)} \right]

EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Nell'analogia fluidodinamica oltre alla relazione Q=ρ * V è valida la relazione:

\partial {\rm  }\rho {\rm /}\partial {\rm  t  +  }\partial {\rm  q/}\partial {\rm  x  =  0}

che esprime la conservazione dei veicoli in assenza di immissioni od uscite dalla corrente principale.

Questa relazione si può ricavare, così come si ricava in fluidodinamica, imponendo che la variazione del numero di auto N(t) presenti in un tratto x,x+Δx sia uguale alla differenza fra flusso in entrata e flusso in uscita. Nell'ipotesi che la densità sia continua possiamo definire N(t) come l'integrale in dx fra x e x+Δx della densità ρ(x,t) :


{\rm N(t)} = \int_{\rm x}^{{\rm x} + \Delta {\rm x}} {\rho {\rm (x}{\rm ,t)dx}}

si ha quindi :

{{{\rm d N(t)}} \over {{\rm dt}}} = {{\rm d} \over {{\rm dt}}}\int_{\rm x}^{{\rm x} + \Delta {\rm x}} {\rho {\rm (x}{\rm ,t)dx}}  = q(x,t) - q(x + \Delta x,t)


si può scrivere inoltre per \Delta x \to 0 :


{{\rm d} \over {{\rm dt}}}\int_{\rm x}^{{\rm x} + \Delta {\rm x}} {\rho {\rm (x}{\rm ,t)dx}}  = \int_{\rm x}^{{\rm x} + \Delta {\rm x}} {{{\partial \rho {\rm (x}{\rm ,t)}} \over {\partial {\rm  t}}}{\rm dx = }} {{\partial \rho {\rm (x}{\rm ,t)}} \over {\partial {\rm  t}}}\Delta {\rm x + o(}\Delta {\rm x})

dove con o(Δx) si è indicato un infinitesimo di ordine superiore a Δx, dividendo quindi le relazioni precedenti per Δx e passando al limite per Δx che tende a 0 nell'ipotesi che la portata q sia continua si ha :

{{\partial \rho } \over {\partial {\rm  t}}} =  - {{\partial {\rm  q}} \over {\partial {\rm  x}}}

STAZIONARIETÀ ED OMOGENEITÀ

E' bene a questo punto precisare cosa si intende con l'uso di due termini che in seguito verranno ampiamente utilizzati nella rappresentazione macroscopica basata sull'analogia fluidodinamica: deflusso stazionario e condizioni di omogeneità.

Il deflusso stazionario (Time indipendent) ideale di un fluido veicolare è caratterizzato dall'avere i valori di velocità e densità costanti nel tempo per ogni sezione :

\left( {{{\partial \rho } \over {\partial t}}{\rm  = 0}{\rm ,}{{\partial v} \over {\partial t}}{\rm  = 0}} \right)

e inoltre tali che il loro prodotto sezione per sezione non cambia rimanendo costante nel tempo e nello spazio il valore di portata.

Tale definizione è valida solo nell'ipotesi di fluido continuo, più in generale si può considerare il deflusso stazionario in termini di valori medi di velocità portata e densità quando la condizione appena enunciata vale per la media delle variabili Q, ρ e V in ogni intervallo T sufficientemente grande di durata finita.

Per condizioni di omogeneità (Space indipendent) si intende caratteristiche della strada sempre uguali sezione per sezione al variare del tempo (per tutti i veicoli di cui è composta la portata veicolare), questo significa ( come si vedrà dopo) che la curva di deflusso o diagramma fondamentale del traffico resta uguale a se stessa per ogni sezione stradale.


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Contenuto a cura di: Vittorio Astarita con il contributo di:

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